Question

10．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边CD上，连接AE，∠DEA=75°，线段AE沿对角线AC折叠得到AF，点F在BC边上，连接EF，则EF的长度是5-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据正方形的想知道的AB=AD，∠D=∠B=90°，由线段AE沿对角线AC折叠得到AF，得到AE=AF，在根据全等三角形的性质得到BF=DE，∠AED=∠AFB=75°，推出△AEF是等边三角形，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠B=90°，
∵线段AE沿对角线AC折叠得到AF，
∴AE=AF，
在Rt△ADE与Rt△ABF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AF=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△ABF，
∴BF=DE，∠AED=∠AFB=75°，
∴CF=CE，∠DAE=∠BAF=15°，
∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=AF=EF，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AE²=2²+（2-CE）²，EF²=2CE²，
∴2²+（2-CE）²=2CE²，
∴CE=$\frac{5\sqrt{2}-4}{2}$（舍负），
∴EF=5-2$\sqrt{2}$．
故答案为：5-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理全等三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．