Question

19．在直角梯形ABCD中，AB∥DC，．AB⊥BC，AB=2CD，E为AB的中点，若△EBC沿EC折叠，使B点落在AD上的F点，连结EF、CE、CF．
（1）判断四边形AECD的形状，并证明；
（2）若AD=$4\sqrt{5}$，S_{四边形BCFE}=32，求△ECB的周长．

Answer 1

分析 （1）根据题意和平行四边形的判定定理证明即可；
（2）根据三角形的面积公式得到$\frac{1}{2}$×BE×BC=16，根据完全平方公式求出BE+BC，根据三角形周长公式计算即可．

解答 解：（1）四边形AECD是平行四边形，
∵AB=2CD，E为AB的中点，
∴CD=AE，又AB∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）∵S_{四边形BCFE}=32，
∴S_△BEC=16，
∴$\frac{1}{2}$×BE×BC=16，
∵四边形AECD是平行四边形，
∴EC=AD=$4\sqrt{5}$，
∴BE²+BC²=EC²=80，
则（BE+BC）²=BE²+BC²+2×BE×BC=144，
∴BE+BC=12，
∴△ECB的周长=BE+BC+EC=12+4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的是翻折变换的性质和平行四边形的判定，找出翻折变换中的对应边和对应角是解题的关键．