Question

（2013•张家港市二模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
（2）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值．
（3）当PQ⊥BD时，求t的值．

Answer 1

分析：（1）求出BQ=16-t，根据S=

1

2

BQ×CD求出即可；
（2）过Q作QE⊥AD于E，证△OPA∽△OQB，得出

AP

BQ

=

AO

OB

，代入得出方程

2t-21

16-t

=

1

2

，求出t，即可求出PE=t=

58

5

，解直角三角形求出即可；
（3）当PQ⊥BD时，过Q作QF⊥AD于F，证△PQF∽△DBC，得出

PF

FQ

=

DC

CB

，代入求出即可．

解答：解：
（1）如图1，∵BQ=16-t，
∴S=

1

2

BQ×CD
=

1

2

（16-t）•12
S=96-6t；

（2），如图2，过Q作QE⊥AD于E，
则QE=12，
∵AD∥BC，
∴△OPA∽△OQB，
∴

AP

BQ

=

AO

OB

，
∵BO=2AO，
∴

2t-21

16-t

=

1

2

，
t=

58

5

，
PE=t=

58

5

，
tan∠BQP=tan∠EPQ=

QE

PE

=

30

29

；

（3）如图3，当PQ⊥BD时，过Q作QF⊥AD于F，
则∠QFP=∠C=∠BOQ=90°，
∴∠DBC+∠BDC=90°，∠DBC+∠BQP=90°，
∴∠BDC=∠BQP，
∵AD∥BC，
∴∠FPQ=∠BQP，
∴∠FPQ=∠BDC，
∵∠C=∠QFP，
∴△PQF∽△DBC，
∴

PF

FQ

=

DC

CB

，
∴

t

12

=

12

16

，
∴t=9．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形的性质，平行线性质，三角形的面积的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力，题目比较好．