Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，AC=AD，DE⊥CD交BC于点E，AF平分∠BAC交BC于F点．
（1）求证：AF∥DE；
（2）当AC=6，AB=10时，求BE的长．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,线段垂直平分线的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）利用等腰三角形“三线合一”的性质得到AF⊥CD，再结合已知条件DE⊥CD可以证得结论；
（2）利用（1）中的结论推知GF是△CDE的中位线，利用三角形中位线定理、平行线分线段成比例以及图中相关线段间的数量关系来求BE的长度．

解答：（1）证明：如图，∵AC=AD，AF平分∠BAC，
∴AF⊥CD，
又∵DE⊥CD，
∴AF∥DE；

（2）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=AD=6，
∴根据勾股定理求得BC=

AB2-AC2

=8．
又∵AF垂直平分DC，AF∥DE，
∴GF是△CDE的中位线，

BD

BA

=

BE

BF

=

10-6

10

=

2

5

，
∴CF=EF=（BC-BE）÷2=（8-BE）÷2=4-

BE

2

，
∴BE=

2(BE+EF)

5

∴BE=2．

点评：本题考查了三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质以及勾股定理．三角形中位线的定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．