Question

10．如图1是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到他的侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示，若座板DF平行于地面MN，前支撑架AB与后支撑架AC分别与座板DF交于点E、D，现测得DE=20厘米，DC=40厘米，∠AED=58°，∠ADE=76°．
（1）求椅子的高度（即椅子的座板DF与地面MN之间的距离）（精确到1厘米）
（2）求椅子两脚B、C之间的距离（精确到1厘米）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin76°≈0.97．cos76°≈0.24，tan76°≈4.00）

Answer 1

分析 （1）作DP⊥MN于点P，即∠DPC=90°，由DE∥MN知∠DCP=∠ADE=76°，根据DP=CDsin∠DCP可得答案；
（2）作EQ⊥MN于点Q可得四边形DEQP是矩形，知DE=PQ=20，EQ=DP=39，再分别求出BQ、CP的长可得答案．

解答 解：（1）如图，作DP⊥MN于点P，即∠DPC=90°，

∵DE∥MN，
∴∠DCP=∠ADE=76°，
则在Rt△CDP中，DP=CDsin∠DCP=40×sin76°≈39（cm），
答：椅子的高度约为39厘米；

（2）作EQ⊥MN于点Q，
∴∠DPQ=∠EQP=90°，
∴DP∥EQ，
又∵DF∥MN，∠AED=58°，∠ADE=76°，
∴四边形DEQP是矩形，∠DCP=∠ADE=76°，∠EBQ=∠AED=58°，
∴DE=PQ=20，EQ=DP=39，
又∵CP=CDcos∠DCP=40×cos76°≈9.6（cm），
BQ=$\frac{EQ}{tan∠EBQ}$=$\frac{39}{tan58°}$≈24.4（cm），
∴BC=BQ+PQ+CP=24.4+20+9.6≈54（cm），
答：椅子两脚B、C之间的距离约为54cm．

点评 本题主要考查解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．