Question

7．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C．
（1）若△ABC为直角三角形，求a•c的值；
（2）在a=1的条件下，
①若b=-2，c=-3，点D为抛物线上的动点，求满足△ABD为直角三角形的点D的坐标．
②若过点A、B、C三点的圆交y轴于另一点E，证明：不论b，c取何值，点E为定点．

Answer 1

分析 （1）如图1中，设A（x₁，0），B（x₂，0），由△AOC∽△COB，得$\frac{OA}{CO}$=$\frac{CO}{OB}$，即OC²=OA•OB，因为OC=-c，OA•OB=-x₁•x₂，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，可得c²=-$\frac{c}{a}$，可得ac=-1．
（2）①如图2中，设AB的中点为K（1，0），D（m，m²-2m-3）．根据KD=2，可得方程（m-1）²+（m²-2m-3）²=4，列方程即可．
②如答图3，连接AD、BC．由△AOE∽△COB，得$\frac{OE}{OB}$=$\frac{OA}{OC}$，设A（x₁，0），B（x₂，0），由题意OC=-c，x₁x₂=c，求出OE的长即可解决问题．

解答 （1）解：如图1中，设A（x₁，0），B（x₂，0），

∵△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠CAB+∠CBO=90°，
∴∠ACO=∠CBO，∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴$\frac{OA}{CO}$=$\frac{CO}{OB}$，
∴OC²=OA•OB，
∵OC=-c，OA•OB=-x₁•x₂，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
∴c²=-x₁x₁，
∴c²=-$\frac{c}{a}$，
∴ac=-1．

（2）①如图2中，设AB的中点为K（1，0），D（m，m²-2m-3）．

由题意KD=2，
∴（m-1）²+（m²-2m-3）²=4，
∴m²-2m+1+（m²-2m-3）²=4，
∴m²-2m-3+（m²-2m-3）²=0，
∴（m²-2m-3）（1+m²-2m-3）=0，
∴m²-2m-3=0或m²-2m-2=0，
解得m=1+$\sqrt{3}$或1-$\sqrt{3}$或-1或3，（m=-1或m=3不合题意舍弃）
∴D（1-$\sqrt{3}$，-1），D′（1+$\sqrt{3}$，-1）．

②证明：如答图3，连接AD、BC．

∵∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，
∴△AOE∽△COB，
∴$\frac{OE}{OB}$=$\frac{OA}{OC}$，
设A（x₁，0），B（x₂，0），
∵已知抛物线y=x2+bx+c（c＜0），∴OC=-c，x₁x₂=c．
∴$\frac{OE}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}}{-c}$，
∴OE=$\frac{-{x}_{1}{x}_{2}}{-c}$=$\frac{-c}{-c}$=1
∴无论b，c取何值，点E均为定点，该定点坐标E（0，1）．

点评 本题考查二次函数综合题、圆的有关知识、相似三角形的判定和性质、一元二次方程、根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，（2）①中的解方程是难点，本题考查学生综合应用知识的能力，属于中考压轴题．