Question

18．已知A（a，0），B（0，b），且分式$\frac{1}{a+b}$无意义．
（1）若a＞0，C的坐标为（-1，0），且AH⊥BC于H．M交OB于点P．求点P的坐标．
（2）连HO，求证：∠OHP=45°．

Answer 1

分析 （1）根据分式$\frac{1}{a+b}$无意义．即可求得a，b的值，根据AH⊥BC即可求得AH的解析式，即可解题；
（2）作OQ⊥AH，即可求得OQ=HQ，即可求得∠OHP=45°．

解答 解：（1）∵分式$\frac{1}{a+b}$无意义，
∴a=-b，
∴B（0，-a），
∴直线BC解析式为y=-ax-a，
∵AH⊥BC，
∴直线AH斜率为$\frac{1}{a}$，
∵直线AH过A点，
∴直线AH解析式为y=$\frac{1}{a}$x-1，
∵点P横坐标为0，
∴点P纵坐标为-1，
∴点P坐标为（0，-1）；
（2）作OQ⊥AH，

∵OQ⊥AH，且直线OQ过O点，
∴OQ解析式为y=-ax，
∵直线AH解析式为y=$\frac{1}{a}$x-1，直线BC解析式为y=-ax-a，
设Q坐标为（x，-ax），则-ax=$\frac{1}{a}$x-1，解得：x=$\frac{a}{{a}^{2}+1}$
∴交点Q坐标为（$\frac{a}{{a}^{2}+1}$，-$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+1}$），
设H坐标为（x，$\frac{1}{a}$x-1），则$\frac{1}{a}$x-1=-ax-a，解得：x=-$\frac{3a}{{a}^{2}+1}$，
∴点H坐标为（-$\frac{3a}{{a}^{2}+1}$，-$\frac{5a}{{a}^{2}+1}$），
∴QH=OQ，
∴∠OHP=45°．

点评 本题考查了平面直角坐标系中线段长度的求解，考查了一次函数在平面直角坐标系中的运用，本题中根据一次函数求点的坐标是解题的关键．