Question

9、将正方形ABCD分割为n²个相等的小方格，把相对的顶点A、C染成红色，把B、D染成蓝色，其他各点任意染成红蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．

Answer 1

分析：若恰有三个顶点同色（三红一蓝或一红三蓝），则A_i=1或3为奇数，否则（4红，二红二蓝，4蓝）A_i为偶数．
在A₁+A₂+A₃++A_n²中，有如下事实：
（1）原正方形内部的交点属于4个小正方形，各加了4次；
（2）原正方形边上非顶点的交点属于2个小正方形，各加了2次；
（3）原正方形的四个顶点各加了1次（含2个0，2个1）．
∴A₁+A₂+A₃++A_n²
=4（内部交点相应的数字之和）+2（边上非顶点的交点相应的数字之和）+2，此和必为偶数．

解答：证明：用数代表颜色，将红色记为0，蓝色记为1，再将小方格编号记为1，2，3，，n²，又记第i（i=1，2，3，，n²）个小方格四个顶点数字之和为A．
若恰有三个顶点同色（三红一蓝或一红三蓝），则A_i=1或3为奇数，否则（4红，二红二蓝，4蓝）A_i为偶数．
在A₁+A₂+A₃++A_n²中，有如下事实：
（1）原正方形内部的交点属于4个小正方形，各加了4次；
（2）原正方形边上非顶点的交点属于2个小正方形，各加了2次；
（3）原正方形的四个顶点各加了1次（含2个0，2个1）．
∴A₁+A₂+A₃++A_n²
=4（内部交点相应的数字之和）+2（边上非顶点的交点相应的数字之和）+2，此和必为偶数．
于是，在A₁，A₂，A₃，A_n²中必定是偶数个奇数，
所以：恰有三个顶点同色的小方格的数目必有是偶数．

点评：这道推理题将染色问题转化为数的问题来处理，简明、清晰，效果突出．