Question

如图，M是△ABC中BC边的中点，O是AM上任意一点，连接BO、CO并延长交AC、AB于D、E，求证：DE∥BC．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例

专题：证明题

分析：过O作NF∥BC交AB于N，交AC于F．根据平行线分线段成比例定理3得出NO：MB=AO：AM，OF：MC=AO：AM，由MB=MC，得出NO=OF．再根据平行线分线段成比例定理3得出NO：BC=EO：EC，OF：BC=DO：BD，等量代换得到EO：EC=DO：BD，然后根据平行线分线段成比例定理2得出DE∥BC．

解答：证明：过O作NF∥BC交AB于N，交AC于F．
∵NO∥BM，OF∥MC，
∴NO：MB=AO：AM，OF：MC=AO：AM，
∵MB=MC，
∴NO=OF．
∵NO∥BC，OF∥BC，
∴NO：BC=EO：EC，OF：BC=DO：BD，
∴EO：EC=DO：BD，
∴DE∥BC．

点评：本题主要考查了根据平行线分线段成比例定理，难度适中．
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）定理2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）定理3：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．