Question

20．如图l，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G．
（1）求证：△DOK≌△BOG；
（2）求证：AB+AK=BG：
（3）如图2，若KD=KG=2，点P是线段KD上的动点（不与点D、K重台），PM∥DG交KG于点M，PN∥KG交DG于点N，设PD=x，S_△PMN=y，求出y与x的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）利用AAS即可证得；
（2）证明△ABF是等腰直角三角形，四边形AFGK是平行四边形即可证得；
（3）过点G作GI⊥KD于点I，首先求得△DGK的面积，然后根据△DKG∽△PKM∽△DPN，利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方，用x表示出△PKM和△DPN的面积，则函数解析式即可求得．

解答 解：（1）∵在矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠KDO=∠GBO，∠DKO=∠BGO
∵点O是BD的中点
∴DO=BO
∴在△DCK和△BOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠KDO=∠GBO}\\{∠DKO=∠BGO}\\{DO=BO}\end{array}\right.$，
∴△DOK≌△BOG（AAS），

（2）∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC
又∵AF平分∠BAD
∴∠BAF=∠BFA=45°
∴AB=BF
∵OK∥AF，AK∥FG
∴四边形AFGK是平行四边形
∴AK=FG
∵BG=BF+FG
∴BG=AB+AK；

（3）如图，过点G作GI⊥KD于点I，
由（2）知，四边形AFGK是平行四边形，△ABF为等腰直角三角形．
∴AF=KG=2，AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AF=$\sqrt{2}$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴GI=AB=$\sqrt{2}$，S_△DNG=$\frac{1}{2}$KD•GI=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
∵PD=x
∴PK=2-x
∵PM∥DG，PN∥KG
∴四边形PMGN是平行四边形，△DKG∽△PKM∽△DPN，
∴$\frac{{S}_{△DPN}}{{S}_{△DGK}}$=（$\frac{x}{2}$）²=$\frac{{x}^{2}}{4}$，即S_△DPN=$\frac{{x}^{2}}{4}$S_△DKG=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x²．
同理，S_△KPM=$\frac{\sqrt{2}（2-x）^{2}}{4}$，S_{平行四边形PMGN}=S_△DKG-S_△DPN-S_△KPM=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{2}（2-x）2}{4}$，
则S_△PMN=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形PMGN}=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x²+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．（0＜x＜2）．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，正确表示出△DNP和△PMK的面积是关键．