Question

阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．回答下列问题：
（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是

 

 cm；
（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是

 

 cm．

Answer 1

考点：三角形的外接圆与外心

专题：计算题

分析：（1）边长为1cm的正方形ABCD被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值为其外接圆的半径，如图1，根据圆周角定理得AC为直径，则AC=

2

AB=

2

，于是得到r的最小值是

2

2

cm；
（2）边长为1cm的等边三角形ABC被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值为其外接圆的半径，如图2，连结OB，作OD⊥BC于D，根据等边三角形的性质得OB平分∠ABC，则∠OBD=30°，再利用垂径定理由OD⊥BC得到BD=

1

2

BC=

1

2

，接着利用余弦的定义可计算出OB=

3

3

，于是得到r的最小值是

3

3

cm．

解答：解：（1）正方形ABCD的边长为1cm，则正方形ABCD被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值为其外接圆的半径，如图1，正方形ABCD的外接圆为⊙0，
∵∠B=90°，
∴AC为直径，
∴AC=

2

AB=

2

，
∴OA=

2

2

，
∴r的最小值是

2

2

cm；
（2）边长为1cm的等边三角形ABC被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值为其外接圆的半径，如图2，等边三角形ABC的外接圆为⊙0，
连结OB，作OD⊥BC于D，
∵点O为等边三角形ABC的外心，
∴OB平分∠ABC，
∴∠OBD=30°，
∵OD⊥BC，
∴BD=

1

2

BC=

1

2

，
在Rt△BOD中，∵cos∠OBD=

BD

OB

，
∴OB=

1 2

cos30°

=

1 2

3 2

=

3

3

，
∴r的最小值是

3

3

cm．
故答案为

2

2

；

3

3

．

点评：本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了正方形与等边三角形的性质．