Question

6．在菱形ABCD中，P、Q分别是边BC、CD的中点，连接AP、AQ

（1）如图（1），求证：AP=AQ；
（2）如图（2），连接PQ，若∠B=60°，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的角．

Answer 1

分析 （1）证明AP和AQ所在的△ABP和△ADQ全等即可；
（2）由特殊角的锐角三角函数可知余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的角为30°，所以求出图形中为30°的角即可．

解答 解：
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D，
∵P、Q分别是边BC、CD的中点，
∴BP=CQ，
在△ABP和△ADQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠D}\\{BP=DQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ADQ（SAS），
∴AP=AQ，
（2）因为∠B=60°，所以可求出∠BAP=∠DAQ=30°，∠CPQ=∠CQP=30，
即∠BAP，∠DAQ，∠CPQ，∠CQP余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判断和性质以及特殊角的锐角三角函数，熟记菱形的各种性质是解题的关键．