题目内容

已知，如图，在直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC所在直线解析式为y=- $数学公式$ x+1．
（1）在x轴上存在这样的点M，使AMB为等腰三角形，求出所有符合要求的点M的坐标；
（2）动点P从点C开始在线段CO上以每秒 $数学公式$ 个单位长度的速度向点O移动，同时，动点Q从点O开始在线段OA上以每秒1个单位长度的速度向点A移动．设P、Q移动的时间为t秒．
①是否存在这样的时刻2，使△OPQ与△BCP相似，并说明理由；
②设△BPQ的面积为S，求S与t间的函数关系式，并求出t为何值时，S有最小值．

解：（1）易知A（0，1），C（ $\text{[math]}$ ，0），B（ $\text{[math]}$ ，1）．
①AB为腰且MA=AB时，
由题意可知，AM₂=AB= $\text{[math]}$ ，
∴OM₂= $\text{[math]}$ ．
∴M₂（ $\text{[math]}$ ，0），由对称性知M₄（- $\text{[math]}$ ，0），
②AB为腰且MB=AB时，
由题意得OM₄=OC-CM₄= $\text{[math]}$ ，
∴M₁（ $\text{[math]}$ ，0），
由对称性可知M₃（ $\text{[math]}$ ，0），
③AB为底边，则M₅（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，0）；

（2）①假设存在这样的时刻t，使△OPQ与△BCP相似．
∵CP= $\text{[math]}$ t，OQ=t，OP= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 得：
$\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
即t²+t-1=0或3t=2，
解得t= $\text{[math]}$ 或t= $\text{[math]}$ ．
又∵0≤t≤1，
∴当t= $\text{[math]}$ 或t= $\text{[math]}$ 时，△OPQ与△BCP相似．
②S=S_矩形OABC-S_△ABQ-S_△OPQ-S_△BCP= $\text{[math]}$ （1-t）- $\text{[math]}$ t（ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （t- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$
当t= $\text{[math]}$ 时，面积S有最小值，最小值是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）因为直线AB的解析式已知，所以可求得A、B、C的坐标，若△AMB是等腰三角形，则可能MA=MB或MA=AB或MB=AB，分别分析求解即可；
（2）①假设相似，根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，求解即可；
②因为S=S_矩形OABC-S_△ABQ-S_△OPQ-S_△BCP求解即可．
点评：此题考查了平面坐标系与四边形，相似三角形的综合知识，解题时要注意数形结合思想的应用．