题目内容

3．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为D，连接AD，点P事线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线PE，垂足点为E，连接AE．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线PF，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．

分析 （1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组，然后求得a、b的值可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可求得抛物线的解析式；
（2）先求得直线AD的解析式，然后可得到P（x，2x+6）．接下来依据S=$\frac{1}{2}$PE•yP可得到S与x的函数关系式，然后利用二次函数的性质可求得S的最大值以及此时x的值；
（3）设P′F与y轴交与点N，过点P′作P′M⊥y轴与点M．由（2）可知x=-$\frac{3}{2}$，故此可求得点P和点E的坐标，然后利用翻折的性质得到∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=$\frac{3}{2}$，接下来，利用翻折的性质和平行线的性质可证明∠PFE=∠FEN，从而可得到EN=FN，然后设EN=m，则FN=m，P′N=3-m，依据勾股定理可求得m的值，然后可求得点P′的坐标，最后将点P′的坐标代入抛物线进行判断即可．

解答 解：（1）将点A和点B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+3=0}\\{a+b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=-2．
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3．
∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为D为（-1，4）．
（2）设AD的解析式为y=kx+b，将点A和点D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{-k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：k=2，b=6．
∵P在AD上，
∴P（x，2x+6）．
∴S=$\frac{1}{2}$PE•yP=$\frac{1}{2}$（-x）•（2x+6）=-x2-3x（-3＜x＜-1）．
∴当x=-$\frac{-3}{2×（-1）}$=-$\frac{3}{2}$时，S取值最大值$\frac{9}{4}$．
（3）如图1所示：设P′F与y轴交与点N，过点P′作P′M⊥y轴与点M．

∵当x=-$\frac{3}{2}$时，S取值最大值，
∴P（-$\frac{3}{2}$，3）．
由翻折的性质可知：∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=$\frac{3}{2}$．
∵PF∥y轴．
∴∠PFE=∠FEN．
∴EN=FN．
设EN=m，则FN=m，P′N=3-m．
∵在Rt△P′EN中，P′N2+P′E2=EN2，
∴（3-m）2+（$\frac{3}{2}$）2=m2，解得：m=$\frac{15}{8}$．
∵S△P′EN=$\frac{1}{2}$P′N•P′E=$\frac{1}{2}$EN•P′M，
∴P′M=$\frac{9}{10}$．
∵在Rt△EMP′中，EM=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}-（\frac{9}{10}）^{2}}$=$\frac{6}{5}$，
∴OM=EO-EM=$\frac{9}{5}$．
∴P′（$\frac{9}{10}$，$\frac{9}{5}$）．
把x=$\frac{9}{10}$代入抛物线的解析式得：y=$\frac{39}{100}$≠$\frac{9}{5}$，
∴点P′不在该抛物线上．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理、翻折的性质，求得点P′的坐标是解答本题的关键．

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