Question

如图，点P是直线y=

x

2

+2与双曲线y=

k

x

在第一象限内的一个交点，直线y=

x

2

+2与x轴、y轴的交点分别为A、C，过P作PB垂直于x轴，若AB+PB=9．
（1）求k的值；  
（2）求△PBC的面积；
（3）在双曲线上是否存在一点G，使得△ABG的面积等于△PBC的面积？若存在，求出点G的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：（1）根据直线方程求出A与C坐标，确定出OA与OC的长，由CO，PB都与x轴垂直，得到CO与PB平行，得到三角形ACO与三角形APB相似，由相似得比例，设PB=x，得到AB=9-x，根据比例式列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，求出PB与OB的长，进而确定出P坐标，代入反比例解析式即可求出k的值；
（2）三角形PBC面积=三角形APB面积-三角形ABC面积，求出即可；
（3）假设存在一点G，使得△ABG的面积等于△PBC的面积，设G（a，

6

a

），列出关于a的方程，求出方程的解确定出G坐标．

解答：解：（1）对于直线y=

x

2

+2，
令x=0，得到y=2，即C（0，2），OC=2；令y=0，得到x=-4，即A（-4，0），OA=4，
∵CO⊥x轴，PB⊥x轴，
∴CO∥PB，
∴△ACO∽△APB，
∴

CO

PB

=

OA

AB

，
∵AB+PB=9，
∴设PB=x，则有AB=9-x，
代入比例式得：

2

x

=

4

9-x

，即18-2x=4x，
解得：x=3，
∴PB=3，AB=9-3=6，即OB=AB-OA=6-4=2，
∴P（2，3），
将P（2，3）代入反比例解析式得：k=6；

（2）S_△PBC=S_△APB-S_△ABC=

1

2

PB•AB-

1

2

AB•OC=9-6=3；

（3）假设存在一点G，使得△ABG的面积等于△PBC的面积，
设G（a，

6

a

），则有

1

2

AB•|

6

a

|=

18

|a|

=3，即|a|=6，
解得：a=6或a=-6，
∴这样的G点存在，坐标为（6，1）或（-6，-1）．

点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．