Question

19．如图，P为⊙O外一点，OP⊥弦AB，PA与⊙O相切于点A，BC∥OP，交⊙O于点C．若OC=2，OP=$\frac{7}{2}$，求弦AB的长．

Answer 1

分析 连接OA，则OA=OC=2，设AB与OP相交于点D，在直角△AOP中利用勾股定理求得PA的长，然后利用三角形的面积公式求得AD的长，则依据垂径定理求得AB的长．

解答 解：连接OA，则OA=OC=2，设AB与OP相交于点D．
∵PA是圆的切线，
∴∠OAP=90°，
∴AP=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{7}{2}）^{2}-{2}^{2}}$=$\frac{\sqrt{33}}{2}$．
∵S△AOP=$\frac{1}{2}$OA•PA=$\frac{1}{2}$OP•AD，
∴AD=$\frac{OA•PA}{OP}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{33}}{2}}{\frac{7}{2}}$=$\frac{2\sqrt{33}}{7}$．
∵OP⊥AB，
∴AB=2AD=$\frac{4\sqrt{33}}{7}$．

点评 本题考查了垂径定理以及切线的性质定理，利用三角形的面积公式求得AD的长是关键．