Question

双曲线y=

100

3x

上有一点B，过B作AB⊥x轴于A，BC⊥y轴于C，连接OB交双曲线y=

k

x

于D，若OB：BD=5：2，则k=

 

．

Answer 1

分析：如图所示，过D作x轴的垂线，垂足为点E，又∵BA也与x轴垂直，从而得到一对直角相等，再由∠DOE为公共角，根据两对对应角相等的两三角形相似得到△DOE∽△BOA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，得到OD²：OB²=S_△ODE：S_△OBA，由OB：BD=5：2确定出面积之比，设出B的横坐标为a，代入反比例解析式表示出纵坐标，进而由三角形的面积公式表示出S_△OBA，即可求出S_△ODE，设出D的坐标，利用三角形的面积公式表示出三角形ODE的面积，等于求出的面积即可求出k的值．

解答：
解：过D作x轴的垂直，垂足为E，又BA⊥x轴，
∴∠BAO=∠DEO=90°，
又∵∠DOE=∠BOA，
∴△ODE∽△OBA，
又∵OB：BD=5：2，即OD：OB=3：5，
∴OD²：OB²=S_△ODE：S_△OBA=9：25，
由B为双曲线y=

100

3x

上一点，设B的坐标为（a，

100

3a

）a＞0，
∴OA=a，OB=

100

3a

，
所以S_△OBA=

1

2

OA•OB=

50

3

，
则S_△ODE=

1

2

OE•DE=

9

25

S_△OBA=

9

25

×

50

3

=6，即OE•DE=12，
设D的坐标为（m，n），即mn=12，
∴代入双曲线得：n=

k

m

，即k=mn=12．
故答案为：12．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，以及反比例函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想，作出辅助线DE，构造相似三角形是本题的突破点，同时注意相似三角形的面积之比等于相似比的平方．