Question

阅读下面的材料：

如图，在以AB为直径的半圆O内有一点P，AP、BP的延长线分别交半圆O于点C、D．求证：AP·AC＋BP·BD＝AB²．

证明：连结AD、BC，过P作PM⊥AB，则∠ADB＝∠AMP＝90°，

∴点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上．

由割线定理得：AP·AC＝AM·AB，BP·BD＝BM·BA，

所以，AP·AC＋BP·BD＝AM·AB＋BM·AB＝AB·(AM＋BM)＝AB²．

当点P在半圆周上时，也有AP·AC＋BP·BD＝AP²＋BP²＝AB²成立，那么：

(1)如图当点P在半圆周外时，结论AP·AC＋BP·BD＝AB²是否成立？为什么？

(2)如图当点P在切线BE外侧时，你能得到什么结论？将你得到的结论写出来．

Answer 1

答案：
解析：

(1)成立．1分 　　证明：如图，∵∠PCM＝∠PDM＝90°， 　　∴点C、D在以PM为直径的圆上，3分 　　∴AC·AP＝AM·MD，BD·BP＝BM·BC， 　　∴AC·AP＋BD·BP＝AM·MD＋BM·BC， 　　由已知，AM·MD＋BM·BC＝AB2， 　　∴AP·AC＋BP·BD＝AB2．5分 　　(2)如图，过P作PM⊥AB，交AB的延长线于M，连结AD、BC，6分 　　则C、M在以PB为直径的圆上，∴AP·AC＝AB·AM，① 　　D、M在以PA为直径的圆上，∴BP·BD＝AB·BM，②　8分 　　由图象可知：AB＝AM－BM，③ 　　由①②③可得：AP·AC－BP·BD＝AB·(AM－BM)＝AB2．10分