Question

1．已知二次函数y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．
（1）求出点A、B、C的坐标．
（2）求S_△ABC
（3）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得S_△NAB=S_△ABC，若存在，求出点N的坐标，若不 存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别将x=0和y=0代入可得：点A、B、C的坐标．
（2）根据坐标写出AB和OC的长，代入面积公式即可；
（3）根据同底等高的两三角形的面积相等，可知：高为3的三角形满足S_△NAB=S_△ABC，所以点N的纵坐标满足3或-3即可，代入解析式可求得N的坐标．

解答 解：（1）当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3），
当y=0时，x²-2x-3=0，
（x-3）（x+1）=0，
x=3或-1，
∴A（-1，0）、B（3，0），
（2）∵A（-1，0）、B（3，0），
∴AB=3+1=4，
∵C（0，-3），
∴OC=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
（3）存在，
当y=3时，x²-2x-3=3，
x²-2x=6，
（x-1）²=7，
x-1=$±\sqrt{7}$，
x=1$±\sqrt{7}$，
当y=-3时，x²-2x-3=-3，
x²-2x=0，
x₁=0（舍），x₂=2，
∴点N的坐标（1+$\sqrt{7}$，3）或（1-$\sqrt{7}$，3）或（2，-3）．

点评 本题考查了抛物线与两坐标轴的交点坐标，令x=0，求抛物线与y轴交点坐标；令y=0，求抛物线与x轴交点坐标；本题难度不大，属于基础题．