Question

8．如图，已知△ABC中，AB=BC=AC，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，M、N分别在△ABC的BC、AC边上，且BM=CN，AM、BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．
（1）请你完成这道思考题；
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①是；②是．

Answer 1

分析 （1）先根据SAS定理得出△ABM≌△BCN，故可得出∠1=∠2，再由∠BQM=∠AQN，∠AQN是△ABQ的外角即可得出结论；
（2）①根据ASA定理得出△ABM≌△BCN，由全等三角形的性质即可得出结论；
②同①可证△ABN≌△CAM，由全等三角形的性质即可得出结论．

解答 （1）证明：如图1，

∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABM与△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABC=∠C}\\{BM=CN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠BQM=∠AQN，∠AQN是△ABQ的外角，
∴∠BQM=∠AQN=∠1+∠3=∠2+∠3=∠ABC=60°，
∴∠BQM=60°；
（2）①仍为真命题；
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
∵∠BQM=∠AQN=60°，
∴∠1+∠3=60°，
∵∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠2，
在△ABM与△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AB=BC}\\{∠ABC=∠C}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCN（ASA），
∴BM=CN；
②解：如图2所示，

同①可证△ABN≌△CAM，
∴∠N=∠M，
∵∠NAQ=∠CAM，
∴∠BQM=∠ACB=60°，
∴仍能得到∠BQM=60°．

点评 本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识是解答此题的关键．