题目内容
19．
如图，在平面直角坐标系中，点A，点B在x轴上，点C在y轴上，∠ADC=90°，AB=BC，线段BC，OB的长是一元二次方程x2-6x+8=0的两根．（1）求OA的长；
（2）求经过点D的反比例函数的解析式；
（3）点P在直线AD上，在平面内是否存在一点Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）解方程可得BC、OB的长，即可解决问题．
（2）如图2中，作DE⊥OA于E，求出BE、DE即可解决问题．
（3）如图3中，存在，满足条件的点Q的个数有三个．当AB为边时，有两种情形①四边形ABQ1P1是菱形，②四边形ABQ2P2是菱形，③当AB为对角线时，四边形AQ3BP3是菱形，分别求出P、Q坐标即可．
解答 解：（1）如图1中，
∵线段BC，OB的长是一元二次方程x2-6x+8=0的两根，
∴BC=4，OB=2，
∵BA=BC
∴AB=4，OA=OB+BA=6．
（2）如图2中，作DE⊥OA于E．
∵cos∠CBO=$\frac{OB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ABD=∠CBO=60°，
∵∠ADB=90°，
∴∠BAD=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵∠BDE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD=1，DE=$\sqrt{3}$BE=$\sqrt{3}$，
∴点D坐标（3，-$\sqrt{3}$），设经过点D的反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，
∴k=-3$\sqrt{3}$，
∴经过点D的反比例函数解析式为y=-$\frac{3\sqrt{3}}{x}$．
（3）如图3中，存在，满足条件的点Q的个数有三个．
当AB为边时，有两种情形①四边形ABQ1P1是菱形，此时P1（6+2$\sqrt{3}$，2），Q1（2+2$\sqrt{3}$，2），
②四边形ABQ2P2是菱形，此时P2（6-2$\sqrt{3}$，-2），Q2（2-2$\sqrt{3}$，-2），
③当AB为对角线时，四边形AQ3BP3是菱形，此时P3（4，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），Q3（4，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，菱形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键．
课时训练江苏人民出版社系列答案| A． | 3.40≤a≤3.60 | B． | 3.495≤a≤3.505 | C． | 3.49≤a≤3.605 | D． | 3.500≤a≤3.60 |
画出如图几何体的从正面、从左面、从上面看到的形状图．| A． | a与b的平方差 | B． | a减去b的平方的差 | ||
| C． | a与b的差的平方 | D． | a的平方减去b的平方 |