Question

如图，边长为5的正方形ABCD，点P为边CD上一点，连接AP，过点B作BH⊥AP，若
∠ABH的正切值为

1

2

，则线段HP=

 

．

Answer 1

分析：根据同角的余角相等求出∠DAP=∠ABH，然后求出DP，再利用勾股定理列式求出AP，设AH=x，表示出BH=2x，利用勾股定理列式求出x，然后根据HP=AP-AH代入数据进行计算即可得解．

解答：解：在正方形ABCD中，∠BAD=90°，
∴∠BAH+DAP=90°，
∵BH⊥AP，
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∴∠DAP=∠ABH，
∴DP=AD•tan∠DAP=5×

1

2

=

5

2

，
由勾股定理得，AP=

AD2+DP2

=

52+( 5 2 )2

=

5 5

2

，
设AH=x，
∵∠ABH的正切值为

1

2

，
∴BH=2x，
在Rt△ABH中，AH²+BH²=AB²，
即x²+（2x）²=5²，
解得x=

5

，
∴HP=AP-AH=

5 5

2

-

5

=

3 5

2

．
故答案为：

3 5

2

．

点评：本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，解直角三角形，熟记各性质并准确识图，确定出∠DAP=∠ABH是解题的关键．