Question

2．如图1，在一张?ABCD的纸片中，?ABCD的面积为6，DC=3，∠BCD=45°，点P是BD上的一动点（点P与点B，D不重合）．现将这张纸片分别沿BD，AP剪成三块，并按图2（注：图2中的①，②是将图1中的①，②翻转背面朝上，再拼接而成的）所示放置

（1）当点P是BD的中点时，求AP的长．
（2）试探究：当点P在BD的什么位置上时，MN的长最小？请求出这个最小值．

Answer 1

分析 （1）连接AC交BD于P，根据平行四边形的性质得到PD=PB，即点P是BD的中点，过D作DH⊥AB于H，PE⊥AB于E，根据三角形的中位线的性质得到PE=$\frac{1}{2}$DH，BE=$\frac{1}{2}$BH，根据已知条件得到DH=2，解直角三角形即可得到结论；
（2）由题意得，CM=CN=AP，∠MCD=∠PAB，∠NCB=∠PAD，于是得到∠MCN=90°，当AP⊥BD时，MN的长最小，过D作DH⊥AB于H，根据勾股定理得到BD=$\sqrt{D{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{5}$，根据三角形的面积公式得到AP=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）连接AC交BD于P，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴PD=PB，即点P是BD的中点，
过D作DH⊥AB于H，PE⊥AB于E，
∴PE∥DH，
∴PE=$\frac{1}{2}$DH，BE=$\frac{1}{2}$BH，
∵?ABCD的面积为6，DC=3，
∴DH=2，
∴PE=1，
∵∠BCD=45°，
∴∠DAB=45°，
∴AH=DH=2，
∴BH=1，
∴HE=BE=$\frac{1}{2}$，
∴AE=$\frac{5}{2}$，
∴AP=$\sqrt{A{E}^{2}+P{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{29}}{2}$；
（2）由题意得，CM=CN=AP，∠MCD=∠PAB，∠NCB=∠PAD，
∴∠MCD+∠NCB=45°，
∴∠MCN=90°，
当AP⊥BD时，MN的长最小，
过D作DH⊥AB于H，
由（1）求得DH=2，BH=1
∴BD=$\sqrt{D{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵AP⊥BD，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•DH=$\frac{1}{2}$BD•AP，
∴AP=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴CM=CN=AP=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴MN=$\sqrt{C{M}^{2}+C{N}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
∴MN长的最小值是$\frac{6\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，三角形准确性的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．