Question

如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，AC是⊙O的直径交⊙O′于点D，CB的延长线交⊙O′于点E，如果AC=4，BE=10，BC=AD，则DE=

6

3

，∠E=

30°

．

Answer 1

分析：首先连接AB，由AC是⊙O的直径，可得∠ABC=90°，易证得△ABC∽△EDC，然后由相似三角形的对应边成比例，可求得BC，CD，CE的长，又由勾股定理求得DE的长，由特殊角的三角函数值，可求得∠E的度数．

解答：解：连接AB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴∠D=180°-∠ABE=90°，
∴∠ABC=∠D，
∴△ABC∽△EDC，
∴

AC

CE

=

BC

CD

，
设BC=x，则AD=BC=x，CE=BC+BE=10+x，CD=AC+AD=4+x，
∴

4

10+x

=

x

4+x

，
解得：x₁=2，x₂=-8（舍去），
∴BC=AD=2，CD=6，CE=12，
在Rt△CDE中，DE=

CE2-CD2

=6

3

；
∵sin∠E=

CD

CE

=

1

2

，
∴∠E=30°．
故答案为：6

3

，30°．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、相交圆的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．