Question

16．如图，在等边△ABC的三边上分别取点D、E、F，使AD=BE=CF．
（1）试说明△DEF是等边三角形；
（2）连接AE、BF、CD，两两相交于点P、Q、R，则△PQR为何种三角形？试说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△ABC是等边三角形，AD=BE=CF，易证得△ADF≌△BED，即可得DF=DE，同理可得DF=EF，即可证得：△DEF是等边三角形；
（2）由（1）证得△ADF≌△BED，得到BD=AF，通过△ABF≌△CBD，得到∠ABF=∠BCD，求得∠RPQ=∠FBC+∠BCD=60°，同理∠PQR=∠PRQ=60°，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∵AD=BE=CF，
∴AF=BD，
在△ADF和△BED中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BE}\\{∠A=∠B}\\{AF=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BED（SAS），
∴DF=DE，
同理DE=EF，
∴DE=DF=EF．
∴△DEF是等边三角形；

（2）△PQR是等边三角形，
理由：由（1）证得△ADF≌△BED，
∴BD=AF，
在△ABF与△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠BAC=∠CBD}\\{AF=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBD，
∴∠ABF=∠BCD，
∵∠ABF+∠CBF=60°，
∴∠CBF+∠BCD=60°，
∵∠RPQ=∠FBC+∠BCD=60°，
同理∠PQR=∠PRQ=60°，
∴△PQR是等边三角形．

点评 此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．