Question

2．如图，现有甲、乙两个小分队分别同时从B、C两地出发前往A地，甲沿线路BA行进，乙沿线路CA行进，已知C在A的南偏东55°方向，AB的坡度为1：5，同时由于地震原因造成BC路段泥石堵塞，在BC路段中位于A的正南方向上有一清障处H，负责抢修BC路段，已知BH为12000m．
（1）求BC的长度；
（2）如果两个分队在前往A地时匀速前行，且甲的速度是乙的速度的三倍．试判断哪个分队先到达A地．（tan55°≈1.4，sin55°≈0.84，cos55°≈0.6，$\sqrt{26}$≈5.01，结果保留整数）

Answer 1

分析 （1）利用坡度的定义得出AH的长，再利用tan∠HAC=$\frac{HC}{AH}$，得出CH的长，进而得出答案；
（2）利用勾股定理得出AB的长利用cos∠HAC=$\frac{AH}{AC}$，得出AC的长进而得出答案．

解答 解：（1）连接AH
∵H在A的正南方向，
∴AH⊥BC，
∵AB的坡度为：1：5，
∴在Rt△ABH中，$\frac{AH}{BH}$=$\frac{1}{5}$，
∴AH=12000×$\frac{1}{5}$=2400（m）
∵在Rt△ACH中，tan∠HAC=$\frac{HC}{AH}$，
∴1.4=$\frac{CH}{2400}$，即CH=3360m
∴BC=BH+CH=15360m，
答：BC的长为15360m；

（2）乙先到达目的地，理由如下：
在Rt△ACH中，cos∠HAC=$\frac{AH}{AC}$，
∴0.6=$\frac{2400}{AC}$，即AC=$\frac{2400}{0.6}$=4000（m），
在Rt△ABH中，$\frac{AH}{BH}$=$\frac{1}{5}$，设AH=x，BH=5x，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{26}$x≈5.01×2400=12024（m），
∵3AC=12000＜12024=AB，
∴乙分队先到达目的地．

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理得应用，根据题意熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．