Question

13．如图，在平面直角坐标系中，函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，OC=3OA．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

Answer 1

分析 （1）分别确定A、B、C的坐标，利用待定系数法可得二次函数的表达式；
（2）根据A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，可得点F的可能坐标，再由点F在抛物线上，可最终确定；
（3）分两种情况讨论，①MN在x轴上，②MN在x轴下，表示出N的坐标，代入抛物线解析式可得半斤的长度．

解答 解：（1）∵点B的坐标为（3，0），OB=OC，
∴点C的坐标为（0，-3），
又∵OC=3OA，
∴OA=1，
∴点A的坐标为（-1，0），
将A、B、C三点坐标代入可得：$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{a-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
故这个二次函数的表达式为：y=x²-2x-3．
（2）在该抛物线上存在点F（2，-3），使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形．
理由：由（1）得D（1，-4），则直线CD的解析式为：y=-x-3，
故E点的坐标为（-3，0），
∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，
∴F点的坐标为（2，-3）或（-2，-3）或（-4，3），
代入抛物线的表达式检验，只有（2，-3）符合．
∴抛物线上存在点F（2，-3），使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形．
（3）①如图，当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），
则N（R+1，R），代入抛物线的表达式，解得R=$\frac{1±\sqrt{17}}{2}$，
其中R=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$（不合题意，舍去），
∴R=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$．
②如图，当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），
则N（r+1，-r），
代入抛物线的表达式，解得：r=$\frac{-1±\sqrt{17}}{2}$，
其中r=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$（不合题意，舍去），
∴r=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$．
综合①②得：圆的半径为$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$．

点评 本题考查二次函数的综合，涉及了平行四边形的性质、圆的性质特征及待定系数法求抛物线解析式，解答本题的关键是数形结合思想及分类讨论思想的运用．