Question

若矩形ABCD能以某种方式分割成n个小矩形，使得每个小矩形都与原矩形ABCD相似，则此时我们称矩形ABCD可以自相似n分割，已知AB=1，BC=x（x≥1），
（1）若下图可以自相似2分割，请在图中画出分割草图，并求出x的值．
（2）若矩形ABCD可以自相似3分割，请画出两种不同分割的草图，并直接写出相应的x值．

Answer 1

分析：（1）根据相似矩形对应边成比例列出比例式，代入数据求解即可；
（2）把矩形三等分就可以自相似3分割，先纵向分割出一个小矩形，再横向二等分也可以得到矩形自相3分割，然后根据相似矩形对应边成比例列式求解．

解答：解：（1）∵是自相似2分割，
∴BF=FC=

1

2

BC，
根据相似矩形对应边成比例

BF

AB

=

AB

BC

，
∴x•

1

2

x=1，
解得x=

2

；


（2）如上图，EF，GH三等分矩形，则

BF

AB

=

AB

BC

，
∴x•

1

3

x=1，
解得x=

3

；
如上图，点G为AB中点，则

BG

AB

=

BF

BC

，
∴BF=

1

2

BC=

1

2

x，
又

FC

CD

=

CD

BC

，
∴BC•FC=CD•CD=1，
即x（x-

1

2

x）=1，
解得x=

2

．

点评：本题主要考查相似多边形对应边成比例的性质，熟练运用比例的性质列式并解方程是解题的关键．