题目内容

【题目】已知定直线,定点,以坐标轴为对称轴的椭圆过点且与相切.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)椭圆的弦的中点分别为,若平行于,则斜率之和是否为定值? 若是定值请求出该定值若不是定值请说明理由.

【答案】(1)(2)斜率之和为定值

【解析】试题分析:)设椭圆的标准方程为由题意构建关于的方程组,即可得椭圆方程.

(Ⅱ)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),可知PQMN,所以kPQ=kMN=1,

设直线PQ的方程为y=x+t,代入椭圆方程并化简得:3x2+4tx+2t26=0利用韦达定理可计算

试题解析:

设椭圆的标准方程为

椭圆过点所以

代入椭圆方程化简得

因为直线与椭圆相切所以

①②可得 所以椭圆方程为

(Ⅱ)设点,则有

由题意可知,所以,设直线的方程为

代入椭圆方程并化简得

由题意可知

通分后可变形得到

将③式代入分子

所以斜率之和为定值.

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