题目内容
【题目】已知定直线,定点,以坐标轴为对称轴的椭圆过点且与相切.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)椭圆的弦的中点分别为,若平行于,则斜率之和是否为定值? 若是定值,请求出该定值;若不是定值请说明理由.
【答案】(1)(2)斜率之和为定值
【解析】试题分析:(Ⅰ)设椭圆的标准方程为,由题意构建关于的方程组,即可得椭圆方程.
(Ⅱ)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),可知PQ∥MN,所以kPQ=kMN=1,
设直线PQ的方程为y=x+t,代入椭圆方程并化简得:3x2+4tx+2t2﹣6=0,利用韦达定理可计算
试题解析:
(Ⅰ)设椭圆的标准方程为
椭圆过点,所以①,
将代入椭圆方程化简得: ,
因为直线与椭圆相切,所以②,
解①②可得, ,所以椭圆方程为;
(Ⅱ)设点,则有,
由题意可知,所以,设直线的方程为,
代入椭圆方程并化简得:
由题意可知③
,
通分后可变形得到
将③式代入分子
,
所以斜率之和为定值.
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