题目内容

你一定知道小高斯快速求出：1+2+3+4+5+…+n=．请你继续观察：1³=1²，1³+2³=3²，1³+2³+3³=6²，1³+2³+3³+4³=10²，…，求出：1³+2³+3³+…+n³=．

（1+n）×n÷2 （1+2+3+…+n）²．
分析：高斯求和公式为：等差数列和=（首项+尾项）×项数÷2，所以1+2+3+4+5+…+n=（1+n）×n÷2；由于1³=1²，1³+2³=3²=（1+2）²，1³+2³+3³=6²=（1+2+3）²，1³+2³+3³+4³=10²=（1+2+3+4）²，…，由此可以发现，几个连续自然数的立方的和等于这几个连续自然数的和的平方，即1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²．
解答：根据高斯求和公式可知，
1+2+3+4+5+…+n=（1+n）×n÷2；
由1³=1²，1³+2³=3²=（1+2）²，1³+2³+3³=6²=（1+2+3）²，1³+2³+3³+4³=10²=（1+2+3+4）²，…，可以发现：
1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²．
故答案为：（1+n）×n÷2；（1+2+3+…+n）²．
点评：在认真分析所给等式的基础上发现规律，并将规律进行总结是完成本题的关键．