题目内容

已知一个筛子的六个面上分别写了六个不同的正整数，这六个正整数的和为60．现在对这个筛子进行这样的操作：每次操作选取正方体的一个顶点，将包含这个顶点的三个面上的数字都加1，经过多次的操作后，这个正方形的所有面上的数字都相同了．满足条件的不同的筛子有

种（六个面的数字选定后就算一种，不考虑这六个数字如何放在筛子上）．

分析：依次设上下左右前后原来的数字为a、b、c、d、e、f，设操作了（x+y）次后，这个数变得相同，其中x次操作中包含上面，y次操作中包含下面，操作结束后，上面与下面数字之和变为a+b+x+y；前后左右四个数字之和变为c+d+e+f+2（x+y）；由题意，c+d+e+f+2（x+y）=2（a+b+x+y）?c+d+e+f=2（a+b）．然后分别求出a+b，c+d，e+f的值，进而解决问题．

解答：解：依次设上下左右前后原来的数字为a、b、c、d、e、f，假设这组数符合要求，不妨设操作了（x+y）次后，这个数变得相同，其中x次操作中包含上面，y次操作中包含下面（显然不可能有操作既不包含上面，也不包含下面）．操作结束后，上面与下面数字之和变为a+b+x+y；前后左右四个数字之和变为c+d+e+f+2（x+y）；
由题意，c+d+e+f+2（x+y）=2（a+b+x+y）?c+d+e+f=2（a+b）
解得：a+b=20．
同理：c+d=20，e+f=20．
由于20-1+19-2+18-3+17-4+16-5+15-6+14-7+13-8+12-9+11（10+10数字相同，舍去）．
于是，从9组中选取3组即可，共

=84种选法．
故答案为：84．

点评：此题解答起来有一定困难，注意设数，抓住“经过多次的操作后，这个正方形的所有面上的数字都相同了”这一条件，列式推算．