Question

在 1，2，3，4，…100这100个数中取出两个数，使这两个数的和能被4整除，最多有

1225

种不同的取法．

Answer 1

分析：将这100个数按照被4除的余数为0、1、2、3，可以分成四组，这四组分别为余数为0的组：4、8、12、…、100，余数为1的组：1、5、9、13、…、97，余数为2的组：2、6、10、14、…、98，余数为3的组：3、7、11、15、…、99，每一组都是25个数．任取两个数，其和可以被4整除，则只要考虑余数即可，可以是：1、第一组中任意取2个，有C（25，2）种； 2、第二组和第三组中各取一个，有25×25种； 3、第三组中任意取两个，有C（25，2）种．再将上面的结果相加，即可得出答案．

解答：解：将这100个数按照被4除的余数为0、1、2、3，可以分成四组，
这四组分别为余数为0的组：4、8、12、…、100，
余数为1的组：1、5、9、13、…、97，
余数为2的组：2、6、10、14、…、98，
余数为3的组：3、7、11、15、…、99，
每一组都是25个数，
任取两个数，其和可以被4整除，则只要考虑余数即可，
可以是：1、第一组中任意取2个，有C（25，2）种，
即，

25×24

2×1

=300（种），
2、第二组和第三组中各取一个，有25×25种，
即，25×25=625（种），
3、第三组中任意取两个，有C（25，2）种，
即，

25×24

2×1

=300（种），
 最多有：300+625+300=1225（种），
故答案为：1225种．

点评：解答此题的关键是，根据题意，将数进行分组，再利用组合公式，解答即可．