题目内容

阅读下列材料，并解决后面的问题．
★阅读材料：
我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一．我中古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，“勾股定理”因此而得名．
勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．请运用“勾股定理”解决以下问题：

（1）如图一，分别以直角三角形的边为边长作正方形，其中s₁=400，s₂=225，则s₃=．
（2）如图二，是一个园柱形饮料罐，底面半径=8，高=15，顶面正中有一个小园孔，则一条直达底部的直吸管的最大长度是．注：罐壁厚度和顶部园孔直径忽略不计．
（3）如图三，所示的直角三角形中，AB=6．则s₁+s₂的值=．注π值取3．
（4）如图四的圆柱，高=5厘米，底面半径=4厘米，在园柱底面A点有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对的B点处的食物，需要爬行的路程是多少？小聪是这样思考的：
①将该园柱的侧面展开后得到一个长方形，如图五所示（A点的位置已经给出），请在图中中标出B点的位置并连接AB．
②小聪认为线段AB的长度是蚂蚁爬行的最短路程，那么蚂蚁爬行的最短路程是厘米．注：π值取3．
（5）如图六，在长方形的底面A点有一只蚂蚁，想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，它沿长方形表面爬行的最短路程是厘米．

解：（1）由正方形面积公式以及勾股定理得S₁+S₂=S₃，
又因为S₁=400，S₂=225，
故S₃=400+225=625．

（2）直吸管最大长度根据勾股定理，得：
$\text{[math]}$ =17．
答：一条直达底部的直吸管的最大长度是17．

（3）以AB为直径大半圆的面积= $\text{[math]}$ ×3×（6÷2）²=13.5，
所以S₁+S₂=13.5．

（4）①B点上面长的中点，连接AB，如图所示．

②圆柱高BC=5厘米，底面半径=4厘米，
AC= $\text{[math]}$ ×2×3×4=12厘米，
故AB= $\text{[math]}$ =13厘米．
答：蚂蚁爬行的最短路程是13厘米．

（5）AB的长就为最短路线．
然后根据展开图，若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为= $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ （cm）；
若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为 $\text{[math]}$ =15（cm）．
所以蚂蚁经过的最短路程是15厘米．
故答案为：625；17；13.5；13；15．
分析：（1）利用勾股定理易得S₁+S₂=S₃，根据已知数据代入求解；
（2）直吸管的最大长度可根据勾股定理解答；
（3）根据半圆面积公式结合勾股定理，知S₁+S₂等于以斜边为直径的半圆面积；
（4）①圆柱的平面展开图上面长的中点即为B点，连接AB．
②利用勾股定理可求出AB的长，即可求出蚂蚁沿侧面爬行时最短的路程．
（5）最短路线可放在平面内根据两点之间线段最短去求解，蚂蚁爬的两个面可以放平面内成为一个长方形，根据勾股定理去求解．
点评：（1）题考查了正方形面积的计算以及勾股定理的应用．
（2）题考查了圆柱的认识以及勾股定理的应用．
（3）题根据半圆的面积公式以及勾股定理证明：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积，重在验证勾股定理．
（4）题主要考查了平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（5）题考查平面展开问题，关键是把立体图形能够展成平面图形求解．