Question

在1、2、3、…、30这30个自然数中，最多能取出

15

个数，使取出的数中，任意两个不同的数的和都不是7的倍数．

Answer 1

分析：将1、2、3…29、30按除以7的余数分成以下几类：
①{1，8，15，22，29}，②{2，9，16，23，30}，③{3，10，17，24}，④{4，11，18，25}，⑤{5，12，19，26}，⑥{6，13，20，27}，⑦{7，14，21，28}．发现这几组数的特点：
①和⑥中两数之和是7的倍数，②和⑤中两数之和是7的倍数，③和④中两数之和是7的倍数；
考虑极端情况：将前3组数全部取完，和第7组一个数，共5+5+4+1=15个，（后面三组与第7组一个数共4+4+4+1=13个），这15个（13个）数中任意两个不同的数的和都不是7的倍数．若再多到一个，则这一个数必然与前四组中某一个数的和是7的倍数．

解答：解：根据题干分析可得：
最多为5+5+4+1=15（个），
答：最多能取出15个数，使取出的数中，任意两个不同的数的和都不是7的倍数．
故答案为：15．

点评：此题抓住数的整除的特征，利用余数特点将这些数字进行分类从而解决问题．