题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
(a>b>0)经过点(1，e)，其中e为椭圆的离心率．F1、F2是椭圆的两焦点，M为椭圆短轴端点且△MF1F2为等腰直角三角形.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设不经过原点的直线l与椭圆C相交于A、B两点，第一象限内的点P(1，m)在椭圆上，直线OP平分线段AB，求：当△PAB的面积取得最大值时直线l的方程．
【答案】(1) 
．(2) 
．
【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质及点在椭圆上，结合性质
，列出关于
、
、
的方程组，求出 、 、，即可得结果；（2）设出直线方程
，直线方程与椭圆方程联立消去
可得
根据韦达定理、弦长公式以及三角形面积公式可得
，换元后，利用导数求出三角形面积最大时的
的取值即可得到直线方程.
试题解析： (1)∵椭圆
＋
＝1经过(1，e)，
∴
＋
＝1，
又e＝
，∴＋
＝1，解之得b2＝1，
∴椭圆方程为＋y2＝1．
又△MF1F2为等腰直角三角形，
∴b＝c＝1，a＝
，
故椭圆方程为
＋y2＝1．
＋y2＝1，
故P(1，
)，
由题意，当直线l垂直于x轴时显然不合题意．
设不经过原点的直线l的方程y＝kx＋t(t≠0)交椭圆C于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
消去y得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，
Δ＝(4kt)2－4(1＋2k2)·(2t2－2)＝16k2－8t2＋8>0，
∴x1＋x2＝－
，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝
，
x1x2＝
，
直线OP方程为y＝x且OP平分线段AB，
∴＝×
，解得k＝－．
∴|AB|＝
·
＝
，
又∵点P到直线l的距离d＝
＝h，
∴S△PAB＝
|AB|h＝
．
设f(t)＝(－t)2(4－2t2)
＝－2t4＋4t3－8t＋8，
由直线l与椭圆C相交于A、B两点可得－<t<．
求导可得t＝－时f(t)在(－，)上有最大值
，此时S△PAB取得最大值，
此时直线l的方程y＝－x－．
【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在
轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程
或
；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
