Question

13．以正方形两条对角线的交点为圆心，以对角线长度的一半为半径可以画出正方形的外接圆

正方形的对角线长	2	4	6	8
正方形的面积
外接圆的面积
外接圆的面积与正方形面积的比

（1）将表填写完整．（数据可保留π）
（2）你发现了什么？任意选一个正方形，画出它的外接圆，也能得出相同的结论吗？

Answer 1

分析 （1）由题意，正方形面积是由4个同样的等腰直角三角形面积组成，直角边是正方形对角线长的一半，据此可求出正方形的面积；正方形外接圆的半径是正方形对角线长的一半，据此可求出正方形外接圆的面积，再根据比的意义写出它们的比，再化简．
（2）可任选一正方形，如角线长为2a的正方形面积是：2a×2a÷2×4=8a²，外接圆面积是：π×（2a）²=4πa²，它们的面积之比是：（4πa²）：（8a²）=π：2，由此得出结论：正方形外接圆与正方形面积的比是π：2．

解答 解：（1）当正方形对角线长为2是时，2÷2=1，正方形面积：1×1÷2×4=2，外接圆面积：π×1²=π，外接圆与正方形面积的比是π：2；
当正方形对角线长为4时，4÷2=2，正方形面积：2×2÷2×4=8，外接圆面积：π×2²=4π，外接圆与正方形面积的比是4π：8=π：2；
当正方形对角线长为6时，6÷2=3，正方形面积：3×3÷2×4=18，外接圆面积：π×3²=9π，外接圆与正方形面积的比是9π：18=π：2；
当正方形对角线长为8时，8÷2=4，正方形面积：4×4÷2×4=32，外接圆面积：π×4²=16π，外接圆与正方形面积的比是16π：32=π：2．
根据以上数据填表如下：

正方形的对角线长	2	4	6	8
正方形的面积	2	8	18	32
外接圆的面积	π	4π	9π	16π
外接圆的面积与正方形面积的比	π：2	π：2	π：2	π：2

（2）答：我发现，任选一个正方形，画出它的外接圆，外接圆面积与正方形面积的比都是π：2．

点评 此题考查的知识点较多，有方形的特征及面积的计算、三角面积的计算、圆面积的计算、比的意义及化简等．正方形面积根据传统求法，边长乘边长不好求，因此把它看作是由4个同样的等腰直角三角形面积组成的．