Question

一个七位数是33的倍数，我们计这样的七位数的个数为a_m．比如a₅表示：形如且是33的倍数的七位数的个数．则a₂-a₃=________．

Answer 1

8
分析：一个七位数是33的倍数，即m+A+B+9C=90+m+A+B+C是33的倍数，当m=2时，92+A+B+C是33的倍数，由于92+A+B+C≤92+27，即92+A+B+C≤119，所以92+A+B+C=99，则A+B+C=7，即（A+1）+（B+1）+（C+1）=10，由插板法可知：共有=36个符合要求的数，a₂=36；当m=3时，93+A+B+C是33的倍数，由于93+A+B+C≤93+27，即93+A+B+C≤120，所以93+A+B+C=99，则A+B+C=6，即（A+1）+（B+1）+（C+1）=9，由插板法可知：共有=28个符合要求的数，a₃=28；据此可得a₂-a₃=36-28=8个．
解答：一个七位数是33的倍数，即m+A+B+9C=90+m+A+B+C是33的倍数，
当m=2时，92+A+B+C是33的倍数，
由于92+A+B+C≤92+27，
即92+A+B+C≤119，
所以92+A+B+C=99，
则A+B+C=7，即（A+1）+（B+1）+（C+1）=10，
由插板法可知：共有=36个符合要求的数，a₂=36；
当m=3时，93+A+B+C是33的倍数，
由于93+A+B+C≤93+27，即93+A+B+C≤120，
所以93+A+B+C=99，
则A+B+C=6，即（A+1）+（B+1）+（C+1）=9，
由插板法可知：共有=28个符合要求的数，a₃=28；
所以a₂-a₃=36-28=8个．
故答案为：8．
点评：解答此题关键是理解一个七位数是33的倍数，即m+A+B+9C=90+m+A+B+C是33的倍数，再分别求出当m=2时，和当m=3时，a_2和a_3的个数．