Question

【题目】探索：
如图，外层正方形边长是5，往里第二、三、四、五层各小正方形边长依次是4、3、2、1，观察图形，完成下列问题；

（1）判断大小关系：13+23+33+43+53 （1+2+3+4+5）2；
（2）结合图形，证明你（1）中的判断．
猜想：
13+23+33+…+n3= ．

Answer 1

【答案】
（1）=
（2）（1+2+3+…+n）2　
【解析】解：（1）13+23+33+43+53=1+8+27+64+125=225；
（1+2+3+4+5）2=152=225；
所以13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2 ．
（2）结合图形：大正方形的面积等于所有小正方形的面积之和为：
52×20+42×16+32×12+22×8+12×4，
=52×5×4+42×4×4+32×3×4+22×2×4+12×1×4，
=53×4+43×4+33×4+23×4+13×4，
=（53+43+33+23+13）×4；
同时，大正方形的边长为：（1+2+3+4+5）×2，
所以面积为：
[1+2+3+4+5）×2]×[1+2+3+4+5）×2]，
=[（1+2+3+4+5）×2]2
=（1+2+3+4+5）2×22 ，
=（1+2+3+4+5）2×4；
所以：（53+43+33+23+13）×4=（1+2+3+4+5）2×4；
即：13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2 ．
（3）由以上结论猜想得出：
13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2 ．
所以答案是：（1）=；猜想：（1+2+3+…+n）2 ．