Question

两个不等的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a☉b，比如5☉2=1，7☉25=4，6☉8=2．
（1）求1991☉2000，（5☉19）☉19，（19☉5）☉5；
（2）已知11☉x=2，而x小于20，求x；
（3）已知（19☉x）☉19=5，而x小于50，求x．

Answer 1

分析：根据题意，可知两个不等的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a☉b，这是一种新的计数方法，再根据我们学习的有关有余数的除法就可以求出结果．

解答：解：（1）因为 2000÷1999=1…2
所以1991☉2000=9；
由19÷5=3…4 则5☉19=4，可得（5☉19）☉19=4☉19，又因19÷4=4…3，故，（5☉19）☉19=3；
由19÷5=3…4 则19☉5=4，可得（19☉5）☉5=4☉5，又因5÷4=1…1，故，（19☉5）☉5=1．
（2）我们不知道11和x哪个大（根据题意可知，x≠11），即哪个作除数，哪个作被除数，这样就要分两种情况讨论．
1）当x＜11，这时x除11余2，11-2=9，可知x整除9．因为x应大于余数2，所以x=3或9．
2）x＞11，这时11除x余2，这说明x是11的倍数加2，但x＜20，所以x=11+2=13．
因此（2）的解为x=3，9，13．
（3）比（2）又要复杂一些，但我们可以用同样的方法来解．
用y表示19☉x，不管19作除数还是被除数，19☉x都比19小，所以y应小于19．
y☉19=5，说明y除19余5，19-5=14，可知y整除14，由于y＞5，所以y=7或14．
当y=7时，分两种情况解19☉x=7．
1）x＜19，此时x除19余7，19-7=12，x整除12．由于x＞7，所以x=12．
2）x＞19，此时19除x余7，x是19的倍数加7，由于x＜50，所以x=19+7=26或x=19×2+7=45．
当y=14时，分两种情况解19☉x=14．
1）x＜19，这时x除19余14，19-14=5，x整除5，但x大于14，这是不可能的．
2）x＞19，此时19除x余14，这就表明x是19的倍数加14，因为x＜50，所以x=19+14=33．
因此，（19☉x）☉19=5有四个解，x=12，26，33，45．

点评：解答这类问题的关键是理解新运算所表示的意义，严格按规定的计算法则代入计数，把定义新符号运算转化为熟悉的四则运算．