Question

如图是一个101×101的点阵，各点的位置用其下面与左边正对的两数来表示：若某点M下面正对的数是x，左边正对的数是y，则称M的位置为（x，y），如P的位置为（7，3），Q的位置为（4，7）．现有一个粒子从（0，0）出发，沿图示路线运动，且每秒钟移动一个单位长度，即1秒钟后到（1，0），2秒钟后到（1，1），…．
解答下列问题：
（1）多少秒钟后粒子到（100，100）？
（2）2006秒后粒子到达的位置是什么？
（3）a，b是1～100内的整数且a大于b，问粒子是先到A（a，b），还是先到B（b，a）？

Answer 1

分析：（1）根据粒子的运动规律可知：从原点到（n，n）粒子运动用了n（n+1）秒钟，依此即可求出粒子到（100，100）时的时间；
（2）由（1），当到（44，44）处，粒子运动了44×45=1980秒钟，方向向下，到2006秒钟，由（44，44）再向下运动2006-1980=26秒钟，即可推得2006秒钟这个粒子所处的位置；
（3）分a为奇数和a为偶数两种情况讨论即可得出结论．

解答：解：（1）粒子所在位置与运动的时间的情况如下：
位置：（1，1）运动了2=1×2秒钟，方向向左；
位置：（2，2）运动了6=2×3秒钟，方向向下；
位置：（3，3）运动了12=3×4秒钟，方向向左；
位置：（4，4）运动了20=4×5秒钟，方向向下；
到（n，n）处，粒子运动了n（n+1）秒钟，方向向下，
到（100，100）处，粒子运动了100×101=10100秒钟，方向向下，
答：10100秒钟后粒子到（100，100）．

（2）到（44，44）处，粒子运动了44×45=1980秒钟，方向向下，
故到2006秒钟，须由（44，44）再向下运动2004-1980=24秒钟，
故到2006秒钟，须由（44，44）再向下运动2006-1980=26秒钟，到达（44，18）．

（3）观察图形可知：
①a为奇数时，粒子先到A（a，b）；
②a为偶数时，粒子先到B（b，a）．

点评：本题是考查了数阵图中找规律的问题，点的坐标的确定．本题也是一个阅读理解并猜想规律的题目，解答此题的关键是总结规律首先确定点所在的大致位置，然后就可以进一步推得点的坐标．