Question

【题目】如图，在以为顶点的多面体中，四边形是菱形， ， .

（1）求证： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析;(2) .

【解析】试题分析：（1）利用菱形的性质，根据勾股定理可得，结合条件，由线面垂直的判定定理可得平面；（2）分别以为轴，以为轴，连结与中点作为轴建立坐标系，分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.

试题解析：（1）证明：连结

四边形是菱形， 得

在中，

满足得

平面

（2）分别以为轴，以为轴，连结与中点作为轴

，得，

取的中点，则

面的法向量为：

设面的一个法向量为：

得得

由

【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.