Question

19．探索规律，应用规律
（1）先计算下面各题，然后找出规律
1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$=
（2）应用上面的规律，计算下题．（要写出计算过程）
$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}$
（3）请你自己找出规律，计算下题（要写出主要的计算步骤）
1-$\frac{5}{6}$$+\frac{7}{12}$$-\frac{9}{20}$$+\frac{11}{30}$$-\frac{13}{42}$．

Answer 1

分析 （1）先计算出各个算式的结果，再总结规律；
（2）分子为1，分母是两个连续自然数的两个分数相减，差就等于：分子为1，分母为两个分母的乘积．
据此把各个分数拆成两个分数相减的形式，通过加减相互抵消，求得结果；
（3）通过观察发现这些分数有一定的特点，分子与分子、分母与分母都按一定的规律递增，并且每一个分数都能拆成两个分数相加的形式，进行分数的拆项，拆项后，通过前后两个分数相互抵消，达到简算的目的．

解答 解：（1）1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$=$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$=$\frac{1}{20}$，
规律：分子为1，分母是两个连续自然数的两个分数相减，差就等于：分子为1，分母为两个分母的乘积．

（2）$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{8}$
=1-$\frac{1}{8}$
=$\frac{7}{8}$

（3）1-$\frac{5}{6}$$+\frac{7}{12}$$-\frac{9}{20}$$+\frac{11}{30}$$-\frac{13}{42}$
=1-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$）-（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$）-（$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{7}$）
=1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{7}$
=$\frac{5}{14}$

点评 此题重点考查学生总结规律并据此进行分数的拆项进行简算的能力．