Question

在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在平面几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据图，填写下表中的空格：

正多边形边数	3	4	5	6	…	n
正多边形每个 内角的度数	60°	90°	108°	120°	…	（180- 360 n ）°

（2）如果限定用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再从其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形；并探究这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）利用正多边形一个内角=（180-

360

n

）°求解；
（2）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍；
（3）常见的两种正多边形的密铺组合有：正三角形和正四边形能密铺，正六边形只能和正三角形密铺．所以要从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，只能选择正四边形．

解答：解：（1）正多边形每个内角的度数是：（180-

360

n

）°．

（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形．

（3）如：正方形和正八边形如图．

设在一个顶点周围有n个正方形的角，n个正八边形的角，
则m、n应是方程m?90°+n?135°=360°的正整数解．
即2m+3n=8的正整数解，这个方程的正整数解只有

m=1 n=2

一组，
又如正三角形和正十二边形，同样可求出利用一个正三角形，两个正十二边形也可以镶嵌成平面图形，
所以符合条件的图形有2种．

点评：本题考查了求正多边形一个内角度数，可先求出这个外角度数，让180减去即可．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．