Question

探究并计算（大胆实践，你一定能探索成功！）
观察后面等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，将前面三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×

4=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=______．
（2）直接写出下面式子的计算结果：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2006×2007

=______．
（3）探究并计算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…

1

2006×2008

．

Answer 1

（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2006×2007

，
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2006

-

1

2007

，
=1-

1

2007

，
=

2006

2007

；

（3）

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…

1

2006×2008

，
=(

1

2

-

1

4

)×

1

2

+(

1

4

-

1

6

)×

1

2

+(

1

6

-

1

8

)×

1

2

+…+(

1

2006

-

1

2008

)×

1

2

，
=(

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+

1

6

-

1

8

+…+

1

2006

-

1

2008

)×

1

2

，
=(

1

2

-

1

2008

)×

1

2

，
=

1003

2008

×

1

2

，
=

1003

4016

．

故答案为：

1

n

-

1

n+1

，

2006

2007

，

1003

4016

．