Question

如图，这是一些棋子摆成的正三角形点阵，和“空心方阵”类似，也可以有“空心三角阵”．
（1）如果有一个5层的空心三角阵，最外层每边有20个棋子，那么一共有多少枚棋子？
（2）如果一个空心三角阵共有294枚棋子，那么它最多有多少层？
（3）如果一个空心三角阵共有294枚棋子，不止一层，那么它的最外层最多有多少枚棋子？

Answer 1

考点：方阵问题

专题：方阵问题

分析：（1）根据空心三角阵的特点可知，相邻两层的点数相差9个，然后根据每层点的个数=每边的个数×3-3代入数据求出最外层的点数，然后根据等差数列解答即可；
（2）最里层的个数6开始，要使一个空心三角阵的层数最多，要从里面第二层6+9=15个计数，设一共有n层，公差为9，然后根据等差数列解答即可；
（3）要使它的最外层最多，必须层数最少，因为294是偶数，所以从外向内依次减少的总枚数必须是偶数，即9、9+9×2=27、9+9×2+9×3=54，…，其中最少的是54，所以共有4层时，它的最外层最多；然后再进一步解答即可．

解答： 解：（1）20×3-3=57（枚）
57-9×（5-1）=21（枚）
（57+21）×5÷2
=78×5÷2
=195（枚）
答：一共有195枚棋子．

（2）设一共有n层，
15n+n（n-1）×9÷2=294
3n²+7n-196=0
解得：n=7
答：它最多有7层．

（3）因为294是偶数，所以从外向内依次减少的总枚数必须是偶数，即9、9+9×2=27、9+9×2+9×3=54，…，
其中最少的是54，所以共有4层时，它的最外层最多；
所以最外层最多有：（294+54）÷4=87（枚）．
答：它的最外层最多有87枚棋子．

点评：本题考查了三角阵问题和等差数列问题的综合应用，关键是理解空心三角阵相邻两层的点数相差9个．