Question

一堆球，如果是l0的倍数个，就平均分成l0堆并拿走9堆．如果不是l0的倍数个，就添加几个，但少干l0个，使这堆球成为l0的倍数个，再平均分成10 堆并拿走9堆，这个过程称为一次“均分”．若球仅为一个，则不做“均分”．如果最初一堆球数有l 234…19961 997个，请回答经过多少次“均分”．和添加了多个球后，这堆球就仅佘l个球？

Answer 1

分析：设最初有N个球，N=a_k-1 10^k-1+a_k-210^k-2+…+a₁10+a₀，a₀≠0，a_k-1≠0．
第一次添加（10-a₀）个，分成10堆，拿走9堆后留下的球数是：a_k-110^k-2+a_k-210^k-3+…+a₂10+a₁+1．然后进行推理说明．

解答：解：设最初有N个球，N=a_k-1 10^k-1+a_k-210^k-2+…+a₁10+a₀，a₀≠0，a_k-1≠0．
第一次添加（10-a₀）个，分成10堆，拿走9堆后留下的球数是：
a_k-110^k-2+a_k-210^k-3+…+a₂10+a₁+1，
若a₁=9，不必添加，就可以分成10堆．若a₁＜9，则添加10-（a₁₊1）个，再分成lO堆．
无论a₁=9还是a₁＜9，两次“均分”，共需要添加（10-a₀）+（9-a₁）个球，
余下小堆的球数是：a^k-110^k-3+a_k-110^k-4+…+a₃10+a₂+1
同样道理，第三次“均分”，需添加10-（a₂+1）个球，
连同第一、二次“均分”时添加的球共添加了 （10-a₀）+（9-a₁）+（9-a₂）
个球．并且，“均分”一次，k位数N就少一位．经过k一1次均分，余下a_k-1+1＞1个球．所以，经过k次“均分”后，就余下1个球．总共添加的球数是：10+9（k-1）-（a₀+a₁+…+a_k-1）（个）
当N=1234…19961997时．N的位数k
=1×9+2×90+3×900+4×（1997-999）
=9+180+2700+4000-8=6881
N的数字和也就是：1，2，…1996，1997
中所有数字的和，如果在后面再添上1998，1999，那么l在千位出现1000次；0，l，2…9在百位、十位、个位都各出现200次，所以N的数字和为：
1×1000+3×200×（1+2+…+9）-（1十9十9+8+1+9+9+9）=27945
因此所加的球数是：10+9×6880-27945=33985（个）．
答：“均分”6881次，添加了33985个球．

点评：此题也可这样解答：9+180+2700+4000-8=6881（位）
每“均分”一次，剩下的球比原来少一位数6880次之后则剩下2个球，在均分一次剩下1个球，所以共“均分”6881次．
对于9999…9个球，第一次均分需要加1个球，以后均分不需要添加球了．
所以所求的添加球的个数就等于将1234…19961997的每一位数补成9所补上的所有数之和加1，
9999…9（6881个9）的数码之和为61929﹛6881×9=61929﹜
1234…19961997所有数码之和为27945，
千位数为1的共1000个；
百位数为1，2，…，9的各有200个；
十位数为1，2，…，9的各有200个；
个位数为1，2，…，9的各有200个，
所以添加的球数为：61929-27945+1=33985（个）．