题目内容
我们知道1+2+3+…n=
n(n+1),期中n是自然数.现在来研究一个类似的问题:1×2+2×3+…+n(n+1)=?观察下面三个特殊等式:
1×2=
(1×2×3-0×1×2);
2×3=
(2×3×4-1×2×3)
3×4=
(3×4×5-2×3×4)
将这三个等式的两边相加,可以得到1×2+2×3+3×4=
(3×4×5)=20,读完这段材料,请完成下面各空:
(1)1×2+2×3+…+n(n+1)= .
(2)1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)= .
1 |
2 |
1×2=
1 |
3 |
2×3=
1 |
3 |
3×4=
1 |
3 |
将这三个等式的两边相加,可以得到1×2+2×3+3×4=
1 |
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(1)1×2+2×3+…+n(n+1)=
(2)1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=
分析:观察已知的三个等式,得出一般性的规律,根据得出的规律表示出1×2+2×3+…+n(n+1)的每一项,抵消合并后即可得到结果;依此类推得到1×2×3=
(1×2×3×4-0×1×2×3),2×3×4=
(2×3×4×5-1×2×3×4),
总结出一般性规律,将各项变形后,去括号合并即可得到结果.
1 |
4 |
1 |
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总结出一般性规律,将各项变形后,去括号合并即可得到结果.
解答:解:(1)1×2+2×3+…+n(n+1),
=
(1×2×3-0×1×2)+
(2×3×4-1×2×3)+…+
[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)],
=
n(n+1)(n+2);
(2)依此类推:1×2×3=
(1×2×3×4-0×1×2×3),2×3×4=
(2×3×4×5-1×2×3×4),
所以:1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2),
=
(1×2×3×4-0×1×2×3)+
(2×3×4×5-1×2×3×4)+…+
[(n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)],
=
n(n+1)(n+2)(n+3).
故答案为:
n(n+1)(n+2);
n(n+1)(n+2)(n+3).
=
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
=
1 |
3 |
(2)依此类推:1×2×3=
1 |
4 |
1 |
4 |
所以:1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2),
=
1 |
4 |
1 |
4 |
1 |
4 |
=
1 |
4 |
故答案为:
1 |
3 |
1 |
4 |
点评:此题考查了规律型:数字的变化类,其中弄清题意,得出一般性的规律是解本题的关键.
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