题目内容
【题目】在中,已知,,则为( )
A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形
C. 锐角非等边三角形 D. 钝角三角形
【答案】A
【解析】
已知第一个等式利用正弦定理化简,再利用诱导公式及内角和定理表示,根据两角和与差的正弦函数公式化简,得到A=B,第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形,右边利用二倍角的余弦函数公式化简,将A+B=C,A﹣B=0代入计算求出cosC的值为0,进而确定出C为直角,即可确定出三角形形状.
将已知等式2acosB=c,利用正弦定理化简得:2sinAcosB=sinC,
∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,即sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B)=0,
∵A与B都为△ABC的内角,∴A﹣B=0,即A=B,
已知第二个等式变形得:sinAsinB(2﹣cosC)=(1﹣cosC)+=1﹣cosC,
﹣ [cos(A+B)﹣cos(A﹣B)](2﹣cosC)=1﹣ cosC,
∴﹣(﹣cosC﹣1)(2﹣cosC)=1﹣ cosC,
即(cosC+1)(2﹣cosC)=2﹣cosC,
整理得:cos2C﹣2cosC=0,即cosC(cosC﹣2)=0,
∴cosC=0或cosC=2(舍去),
∴C=90°,
则△ABC为等腰直角三角形.
故选:A.
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