Question

【题目】分母是385的最简真分数有多少个，并求这些真分数的和．

Answer 1

【答案】240个，120

【解析】

试题分析：解答此题要先把385分解质因数，计算出分母是385的不是最简真分数（分子是质因数的倍数的均不是最简真分数）的个数，即用质因数分别除385算出个数，减去重复的即为真分数的个数，每对真分数是成对出现的和为1，除以2即为和．

解：因为385=5×7×11，在1～385这385个自然数中，

5的倍数有（个），7的倍数有（个），11的倍数有（个），5×7=35的倍数有（个），5×11=55的倍数有（个），7×11=77的倍数有=5（个），385的倍数有1个．

由容斥原理知，在1～385中能被5、7或11整除的数有77+55+35﹣（11+7+5）+1=145（个），而5、7、11互质的数有385﹣145=240（个）．即分母为385的真分数有240个．

如果有一个真分数为，则必还有另一个真分数，即以385为分母的最简真分数是成对出现的，而每一对之和恰为1．故以385为分母的240最简分数可以分成120时，它们的和为1×120=120．