题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆的两个焦点分别是,直线与椭圆交于两点.
(1)若为椭圆短轴上的一个顶点,且是直角三角形,求的值;
(2)若,且是以为直角顶点的直角三角形,求与满足的关系;
(3)若,且,求证: 的面积为定值.
【答案】(1) 或;(2) ;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)根据为等腰直角三角形,可得,两种情况讨论,可得的值为 或;(2)当时, ,设,
由,即,由韦达定理及平面向量数量积公式可得结果;(3)由可得,结合韦达定理可得,根据以上结论,利用三角形面积公式化简即可得结论.
试题解析:(1)∵M为椭圆短轴上的一个顶点,且△MF1F2是直角三角形,
∴△MF1F2为等腰直角三角形,
∴OF1=OM,
当a>1时,=1,解得a=,
当0<a<1时,=a,解得a=,
(2)当k=1时,y=x+m,设A(x1,y1),(x2,y2),
由,即(1+a2)x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0,
∴x1+x2=﹣,x1x2=,
∴y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=,
∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形,
∴=0,
∴x1x2+y1y2=0,
∴+=0,
∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0
∴m2(a2+1)=2a2,
(3)证明:当a=2时,x2+4y2=4,
设A(x1,y1),(x2,y2),
∵kOAkOB=﹣,
∴=﹣,
∴x1x2=﹣4y1y2,
由,整理得,(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0.
∴x1+x2=,x1x2=,
∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=++m2=,
∴=﹣4×,
∴2m2﹣4k2=1,
∴|AB|==
=2=
∵O到直线y=kx+m的距离d==,
∴S△OAB=|AB|d====1.