题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆的两个焦点分别是,直线与椭圆交于两点.

(1)若为椭圆短轴上的一个顶点,且是直角三角形,求的值;

(2)若,且是以为直角顶点的直角三角形,求满足的关系;

(3)若,且,求证: 的面积为定值.

【答案】(1) ;(2) ;(3)证明见解析.

【解析】试题分析:1根据为等腰直角三角形,可得两种情况讨论,可得的值为 ;(2时, ,设

,即由韦达定理及平面向量数量积公式可得结果;3)由可得结合韦达定理可得根据以上结论,利用三角形面积公式化简即可得结论.

试题解析:(1)∵M为椭圆短轴上的一个顶点,且△MF1F2是直角三角形,

∴△MF1F2为等腰直角三角形,

∴OF1=OM,

当a>1时,=1,解得a=

当0<a<1时,=a,解得a=

(2)当k=1时,y=x+m,设A(x1,y1),(x2,y2),

,即(1+a2)x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0,

∴x1+x2=﹣,x1x2=

∴y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=

∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形,

=0,

∴x1x2+y1y2=0,

+=0,

∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0

∴m2(a2+1)=2a2

(3)证明:当a=2时,x2+4y2=4,

设A(x1,y1),(x2,y2),

∵kOAkOB=﹣

=﹣

∴x1x2=﹣4y1y2

,整理得,(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0.

∴x1+x2=,x1x2=

∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

=++m2=

=﹣4×

∴2m2﹣4k2=1,

∴|AB|==

=2=

O到直线y=kx+m的距离d==

∴SOAB=|AB|d====1.

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